Разрешено ли собирать и обрабатывать копии документов пользователей?

Можно, если они подпишут соответствующую бумажку, что они согласны предоставить вам, операторы персональных данных, согласие на хранение, обработку их персональных данных.
P.S. Ну, по хорошему, вы еще должны составить список тех, кому будет доступен этот список и прочие документы (около 20)

Смысл запрашивать у них такие документы?
Проведите в начале разъяснительную беседу об адекватности и о том, что будет наказанием за неадекватность (например, наказание рублём или исключение из команды). А заморачиваясь с документами Вы только тратите лишние нервы.