Кто должен проектировать интерфейс интернет-сервиса?

Посоветуйте последовательность действий. Есть идея, есть работающий сервис, который будет взят за основу для разработки нового проекта более широкого функционала. Сейчас ищем человека который напишет ТЗ по действующему сервису. После написания ТЗ и добавления расширенного функционала следует проектировать интерфейсы найдя специалиста по UX ? Или отдать ТЗ дизайнеру, который уже будет реализовывать интерфейс и графику? Как будет правильнее?

@LnDt правильней сначала расписать цели — кто и зачем заходит на сайт. Чаще всего те, кто затевает (заказывает) проект, это знают отлично, иногда требуется помощь бизнес-аналитика. В вашем случае это — вы сами.

Потом каждая цель рассматривается пристальней — что нужно сделать (куда промотать, на что нажать, куда перейти и т.д.), чтобы эту цель достичь. Вот здесь участие UX спеца ценно тем, что он знаком с большим количеством паттернов, применяемых для решения и может помочь (при необходимости) синтезировать что-то своё.
Если вы хотите сделать клон, то проговорите все их решения, чтобы точно понимать, как это работает.

Потом для каждого решения рассматриваются особенности реализации (чисто визуальные, чисто технологические, смешанные) и тут важен опыт и знания каждой стороны — и фронтенда, и бэкенда. Наличие UX специалиста позволяет на ходу корректировать предложенные варианты.
Вполне возможно, что некоторые реализованные возможности там, откуда вы клонируете, вашей команде недоступны (знания, ресурсы, наличие аудитории и т.д.). Придётся корректировать.

А потом уже список сценариев с описанными словами решениями и набросками (скетчами) идут в дело. Дизайнер рисует дизайн. Писатель пишет ТЗ, основанное на выбранных технологических платформах.

В большинстве случаев составитель ТЗ говорит что он составляет ТЗ+прототипы страниц. Вопрос в том кто должен составлять прототипы?

Составлять должен человек, который пишет ТЗ. Дизайнер только выполняет указанную работу.