Protected и private методы Perl?

ООП Perl не имеет ничего общего с ООП C++-подобных языков.
Если очень хочется, то можно использовать анонимную функцию как приватный метод и передавать в него $self первым параметром:

package MyClass;

my $private_method = sub {
    my $self = shift;
    # ...
  };

sub public_method {
  my $self = shift;

  $private_method->($self);
}

Кстати, такой вызов быстрее, чем $object->name.