Стоит ли писать свой сервис для синхронизации заметок в своем приложении или воспользоваться dropbox'ом?

Храните все у себя - сможете целевую рекламу в заметки подсовывать.

Даже при использовании DropBox или Google Drive возникают вопросы, которые придется решать. Как хранить заметки - каждую в своем файле, либо все вместе? Если каждая в своем файле - то как сообщать приложению об их изменении? Очевидно, надо поддерживать версионность в имени файла. Если все заметки лежат в одном файле - получается, для синхронизации его нужно качать каждый раз целиком? Быстро ли это будет работать через мобильного оператора? Что будет, если одну и ту же заметку отредактировать одновременно из двух разных мест?
Мне кажется, наличие своего API, если оно правильно спроектировано, дает дополнительный уровень абстракции, независимый от хранилища. Конечно, DropBox или Google Drive за свой API не поставишь, но можно взять S3 или другое облачное хранилище.

У дропбокса прекрасно можно подключать свои приложения. Встречал не раз приложения которые так хранят данные.

Риторический вопрос. Каждому своё. У обоих подходов есть свои плюсы и минусы, тут вопрос сугубо в том, что Вам надо. Первый вариант проще для пользователей (целевая аудитория - индивидуальные пользователи и маленькие команды), второй - удобнее и интереснее для разработчика и для возможностей интеграции, масштабирования и координации одновременной работы большого количества пользователей. Первый вариант я бы рекомендовал рекомендовал дополнить поддержкой FTP/FTPS и SFTP.

Я бы, как пользователь, предпочел синхронизацию через Dropbox/Drive/что-то еще. И вот почему:
* если приложение разонравится — все заметки и так лежат у меня, не надо вручную экспортировать.
* дропбоксом/драйвом я пользуюсь давно и доверяю, а что у вас со стабильностью сервиса — еще неизвестно.
* если разработчик предпочел готовое решение — значит, есть вероятность, что он потратил свое время на то, что действительно важно.

А еще есть люди, которые захотели бы поддержку ownCloud — потому что любят облака, но не доверяют «большим корпорациям».