Как поддерживать мобильный интернет включенным при выключенном экране в Android?

Врятли такая возможность есть. Как вариант, сделать только затухание экрана, но не выключение и тогда интернет будет всегда включен.

Вроде было в настройках сети выключать её при погасшем экранее или нет, что то вроде режимы работы экономичный и прочее.

Если речь идёт про Wi-Fi, то в дополнительных настройках можно выбрать режим отключения. Передача данных через мобильную сеть вроде бы не должна прерываться из-за выключения экрана. Если прерывается, то это кривость прошивки (что в общем-то неудивительно для китайцев).

Если речь идёт о программном блокировании отключения, то это делается так:

WifiManager wm = (WifiManager) getSystemService(WIFI_SERVICE);
wifiLock = wm.createWifiLock(WifiManager.WIFI_MODE_FULL, "Lock_TAG");
wifiLock.setReferenceCounted(false);
wifiLock.acquire();
...
wifiLock.release();

Кроме того, если приложение выполняет какие-то задачи в фоне (даже не связанные с сетью), нужно блокировать процессор от засыпания:

PowerManager pm = (PowerManager) getSystemService(POWER_SERVICE);
cpuLock = pm.newWakeLock(PowerManager.PARTIAL_WAKE_LOCK, "Lock_TAG");
cpuLock.setReferenceCounted(false);
cpuLock.acquire();
...
cpuLock.release();