Слетит ли авторизацию у юзеров после переноса сайта на другой сервер?

Как всегда - куча приматов, которые не могут отличить сессию от куки.

Куки привязываются к домену (ко всему сразу или некоторым страницам). Так что, если у вас поменялся домен, то пользователям придется авторизоваться заново. А если сайт просто переехал на другой хостинг или сервер, то авторизация не слетит.

Всем пользователям придётся авторизироваться заново.

Обусловлено тем, что авторизация использует сессии

Если у вас не изменится домен и вы перенесете сессии, то не слетит.
Сессии могут хранится либо в БД, тогда вообще нет вопросов, либо в файлах, в дериктории указанной в session.save_path

Вам /var/lib/php52/sess_* скопировать на новый сервер нужно (если путь не меняли на другой каталог или mysql/memcache).
Тогда останутся авторизованными.

У вас в самом вопросе содержится ответ. Функция "Запомнить меня" реализована путем установки cookies в браузере пользователя. А ваши манипуляции с сервером на браузер пользователя никак не повлияют, так что все успешно смогут авторизоваться. Сессии конкретно к вашей задаче никакого отношения не имеют.