Для чего служит поле ввода в правом нижнем углу экрана?

У вас стол рисуется наутилусом или его клоном типа Nemo/Caja и т.п. (я рекомендую nemo), и на нем отображается содержимое директории Рабочий стол. Т.е. это обычная директория такая же как в окне вашего файлового менеджера по умолчанию и это поле - это его же поля поиска файла по имени в данной директории.

Поиск это. Рабочий стол - это папка.
Зайдите через наутилус в любую папку, начните печатать любой текст - увидите такое же окно.

Но так как наутилус новый - вещь достаточно долбанутая, то вы видите то, что видите и на рабочем столе =)