Как неявно зайти по ссылке с помощью PHP?

Хотя желаемый сценарий в корне не верен, но попробуйте послать запрос аяксом и просто забить на ответ.
Но тут проблема в том, что если процесс там у вас долгий, то аякс будет висеть и висеть. Но как только вы обрубите аякс, процесс пхп скорее всего сам умрет.

Еще есть вариант, при нажатии на кнопку создать элмент img средствами js, и дать ему src test/test.php?test=test но и, возможно, сделать это после того, как страница перезагрузится по нажатию. Но тут тоже нет 100% гарантии результата

Если хоть немного сделать эту идею вменяемой, то код test/test.php?test=test должен запускать скрипт в ОС, который начнет в фоне выполнять нужный вам код в отдельном процессе, а вам сразу же вернет true, null и т.д.

Но, еще раз, это всё дикий костыль. Как и сама идея. Лучше опишите нормально задачу и не пробуйте шпионить за юзером, укрывать какой-то контент и т.д. :)

<a href="//ya.ru/" onclick="document.getElementById('getUrl').src = 'test/test.php?test=test';">Ссылка</a>
<iframe id="getUrl" src=""></iframe>

Зарос будет совершать не сервер (php), а клиент. Если по какой-то причине принципиально что бы запрос шел именно от сервера, то нужно в приведенном выше коде менять src фрейма на промежуточный скрипт, который будет запрашивать конечный, требуемый скрипт (test/test.php?test=test)

В контроллере создаете задание для CRONa на выполнение необходимого скрипта, например через 1 секунду, а затем спокойно отдаете необходимый контент. Я бы для демона порекомендовал конечно Node.js, но похоже вам нужен именно PHP, поэтому не буду.

На самом деле можно перейти по урлу из php Оч просто.
Правда не передаются ни куки ни сессии:

file_get_contents("http://site.com/my/file.php?a=1");