Yii2. Как хранить и пользоваться датой в конкретном формате?

Для вывода даты в вашем формате используйте:

echo Yii::$app->formatter->asDate($model->lock_start);

Метод asDate распознает строку с датой в формате mysql и вернет строку с датой в формате из конфига.

Для передачи модели в форму нужны будут небольшие танцы с бубном:

public function actionUpdate($id)
{
    $model = $this->findModel($id);
    // Приводим дату к пользовательскому формату
    $model->lock_start = Yii::$app->formatter->asDate($model->lock_start);
    // Ставим обработчик который после успешной проверки данных в пользовательском формате вернет дату в формат для mysql
    $model->on(ActiveRecord::EVENT_BEFORE_UPDATE, function () use ($model) {
        $model->lock_start = \DateTime::createFromFormat('d-m-Y', $model->lock_start)->format('Y-m-d');
    });
    // Дальше стандартный код
    if ($model->load(Yii::$app->request->post())) {
        if ($model->save()) {
            return $this->redirect(['index']);
        }
    }
    return $this->render('update', [
        'model' => $model,
    ]);
}

Всю эту последовательность можно вынести в отдельный метод модели, или подключать через behavior.