Как залогиниться в инстаграм со своей формы?

Однозначно надо использовать API
Но со своей формы не получится, там либо перекидывать на сайт инстаграма будет, либо в отдельном окне открываться их форма авторизации. (Моё мнение, а там мож и получится)

Используйте API.
Потом перебрасывайте пользователя на инсту, чтобы тот залогинился.

Какие запросы отправляются можно посмотреть в инструменте разработчика хрома по f12

видим что запрос отправляется на https://instagram.com/accounts/login/ajax/ однако ответ получаем в виде как я поняимаю json, а не той страничке куда нужно перекинуть пользователя. Нужно сделать форму которая сначала посылает запрос (именно от ip пользователя а не сервера - т.е. заставить сам браузер в фоне отправить пост запрос на авторизацию, получить куки а потом его отослать на главную инстаграмма). Могу сделать такую форму к четвергу-пятнице