Как сделать простейший сервер, обменивающийся с Android приложением одной переменной?

Когда же вы научитесь пользоваться поиском..

Android приложение отправляет запрос на сервер, php скрипт или что-нибудь еще выдает ответ.
script.php:

<?php
$var = "Something";
echo $var;

^^^
Вот скрипт, который выводит значение переменной. Осталось загрузить данную страницу( http://site.ru/script.php ) через Android, все это есть в просторах интернета

просто выложи json файл на любой хостинг и запрашивай его из приложения.

Если не критично, чтобы данные были именно на вашем компьютере, то лучше для этих целей использовать Parse.com. Это отличный вариант бэкенда для мобильных приложений, ну и вообще, когда не хочется заморачиваться с бэкендом. Есть и другие подобные сервисы.