Что учить: сразу NodeJS на Azure или NodeJS отдельно?

Развертывание - дело десятое, осваивайте JavaScript, если с этим все в порядке, то посмотрите видеоуроки и беритесь за Node.js API, а потом пройдите лабораторки на nodeschool. Параллельно нужно собрать все свои знания в стек технологий, на одной ноде Вы напишете только сервер, а на клиенте что? Нынче времена такие, что одного jQuery уже не хватит, посмотрите React, вот тут серия статей: habrahabr.ru/post/229655 и подберите СУБД для своих нужд, например, рекомендую MongoDB, если у Вас данные аморфные, сложной или часто изменяющейся структуры. Рекомендую PostgreSQL, если данные имеют четкую, редко меняющуюся структуру и хорошо ложатся в таблицы. Все это прекрасно ставится на локальной машине, но если у Вас виндовс, то рекомендую завести виртуалку с CentOS или другим линуксом.