Что должен делать стажёр и как его должны развивать?

Никто никому ничего не должен, если это не оговорено в договоре!

А насчет что должен делать: я когда нанимал ребят на практику, то скидывал на них всю рутину. От того как они ее делали, уже смотрел куда им двигаться дальше, что им еще можно перепоручить.

Лучше не расчитывать на то, что кто-то будет заинтересован в повышении ваших проф.навыков.
Компания в первую очередь ориентирована на генерацию прибыли. Если повезет, то вам выделят наставника, но часто максимум на что можно расчитывать это код ревью в духе "я посмотрел, там все нормально". Поэтому прокачка ваших скиллов - это ваша проблема, пробуйте брать задачи, спрашивайте, читайте код и документацию (если есть), в свободное время продолжайте заниматься самообучением и так вырастите.