Что нужно добавить, чтобы меню закрывалось после нажатия на ссылку?

Зачем два раза вешаете слушатель клика на один и тот же элемент рядом друг с другом?
var button = document.querySelector('.navbar-icon');
button.addEventListener('click', function (){
button.classList.toggle('open');
});
^^^
Вы уж определитесь пользоваться jQuery или чистым JS, не надо смешивать код(именно в данном случае точно не надо)

$('.navbar-icon').click(function(){
  $(this).toggleClass('clicked');
  $( ".navbar, .navbar a" ).slideToggle( 900, function() {
    // Animation complete.
  });
});

^^^
пробуйте