Как получить результаты JavaScript в php?

Извиняюсь за неточный вопрос, нужно получить результат работы JS с чужого сайта.

Тогда скрипт на чужом сайте может:

1. Всё-таки послать запрос на ваш сервер, только в настройках сервера должен быть указан заголовок Access-Control-Allow-Origin для этого сайта.

2. Использовать технику JSONP — вместо запроса с помощью XMLHttpRequest скрипт формирует новый скрипт с адресом, включающим в виде GET-параметров интересующие вас ошибки и добавляет его в документ. В параметре callback указывается имя функции, а вы в теле своего ответа вызываете её с нужным вам кодом, который может использовать полученные данные.
В jQuery всё это делает тот же метод ajax().

3. По старинке — вместо описанной техники JSONP скрипт может динамически добавлять в документ картинку с адресом, аналогичным выше описанному, но без параметра callback.

Сайт чужой - т.е. к нему нет доступа. Нужно получить результат работы JS, ничего не меняя на том сайте, т.к. возможности такой нет.

Тогда единственный вариант — вместе с формой отправлять свой скрипт, который и будет сам проверять данные на ошибки.
Результат работы чужого скрипта вам не получить, если тот сам вам ничего не сообщит.