Как сделать «модульную» cms?

есть внимательней посмотреть на MVC то ты увидишь что соль такого патерна в том что контроллер является связующим звеном между вью и моделью.
То есть если ты говоришь про модульность то получается у тебя каждый модуль это по сути своей один контроллер.
То есть шапка - это контроллер(или группа контроллеров), левый блок сайта тоже контроллер(или группа).

Так же если ты будешь использовать такую сущность как "группа контроллеров" то у этой сущности должен быть триггер который можно дернуть и у тебя отрендерится вся группа сразу и получишь в итоге кусок html этой группы и т.д.

HMVC

На уровне проектирования собственной CMS, тем более модульной, уже требуется переходить с банального "инклюдим файлы из папочки с модулями" на что-то посерьёзнее, а это требует и хорошего понимания самого PHP, и хорошего понимания ООП в целом: паттерны, инкапсуляция, наследование, полиморфизм, корректное использование замыканий и так далее. Лично я вижу два возможных пути развития в этом направлении:
1) От практики к теории, то есть найти какой-то популярный фреймворк, расковырять его, посмотреть, как он устроен, и разобраться/спросить, почему он устроен именно так, а не иначе;
2) От теории к практике: почитать про программную архитектуру (хотя бы книжку "банды четырёх" про паттерны и какие-то базовые вещи из Фаулера), продумать архитектуру своей CMS и начать думать, как это правильно закодить.

Единственно правильного ответа на вопрос "как организовать модульность" не существует, есть разные подходы со своими плюсами и минусами. В качестве самого базового можно рассматривать паттерн Наблюдатель (в php традиционно реализуется через SplObserver, а одна из самых популярных его реализаций - система Event Dispatcher из Symfony). Про разные способы его воплощения в коде можно почитать вот здесь.

Горизонтальное меню можно прикрепить в header.html, но тогда не получится передавать в него никаких данных, то есть динамическое меню отпадает. Тоже с вертикальным. Если же передавать в него данные, то придется каждый раз это делать в каждом контроллере и в каждом шаблоне его рисовать отдельно, а не инклюдить один общий html. Но это же не дело. Как быть?

Подключай общий шаблон .
html
body

if menu = true {include menu}

if content = true {include content}

body
/html
-------------------------
controller

menu = true
menu_data() = array
menu_data[list1] = list1; и т.д.