Чтобы сделать POST запрос, используйте функцию requests.post().
response = requests.post('http://example.com/', data={'key': 'value'})
Через аргумент data передаёте словарь с переменными, если они нужны. В переменной response оказывается объект ответ, у которого есть атрибут cookies, который содержит словарь с куками. Передать эти куки в следующем запросе можно с помощью параметра (вот ведь неожиданно!) cookies.
next_response = requests.post('http://example.com/', cookies=response.cookies)
Вообще модуль request невероятно хорош, никогда не видел настолько интуитивного и удобного способа работы с HTTP. Чего только один метод .json() стоит!
Простой
