Может ли Api Контакта отправлять сообщения?

А почему именно PHP-то? Почему с VK всех тянет работать именно на PHP? С ним скорее на каком-нибудь C# надо работать. Даже если требуется облако, есть же еще VPS как вариант.

без моего личного присутствия за компьютером

Как минимум 1 раз понадобится приложению разрешить доступ к VK через ваш аккаунт.

просто по указаным логину и паролю

Авторизацию по логину и паролю не поддерживается в API, это нужно работать с бек-ендом самого сайта, это совсем другое. Сниффер понадобится, им отследить запросы, идущие из браузера, и имитировать их. Также мб стоит ихнее приложение Android покопать сниффером, ведь там-то логин и пароль, как и на сайте.

проверить почту

Так вы про почту или про личку ВК?

Все что может API написано тут: vk.com/dev/methods
Смотреть раздел: "Сообщения"

С PHP не получится (если у вас приложение типа "Сайт") потому, что эти методы доступны только Standalone-приложениям.

1. сможет отправить сообщение именно с моего личного аккаунта указанным пользователям контакта. Возможно ли это сделать без моего личного присутствия за компьютером, просто авторизоваться по прописанным данным и отправить

Да, сможет, если пользователь позволяет отправлять сообщения с такими правами доступа как у вас. (друзья друзей/друзья/произвольный пользователь вк). Сейчас у многих стоит ограничение и не_друзья отправлять сообщения не могут.

2. Отправить сообщение указанным пользователям контакта после авторизации в скрипте через свой аккаунт вконтакте

Не понимаю чем этот вопрос отличается от первого.

3. Получить список сообщений в моей личке также без моего личного присутствия за компьютером, просто по указаным логину и паролю проверить почту

Да, без проблем. Но все таки в вк принято использовать не логин+пароль, а access_token. Насколько я знаю, все библиотеки, которые умели работать по связки логин+пароль сейчас не работают с этим методом.
Получение токена дело простое, да и можно сделать так, чтоб обновлять его практически не надо было(только при смене пароля)