Raspberry Pi — возможна ли как самостоятельная игровая среда?

Особо не имеет смысла, т.к. довольно слабые характеристики для консоли.

игровая среда со своими эксклюзивами

Это как бы якорь, т.к. консоль жива, пока под нее пишут. Писать под нее никто не будет, ибо чем на больших платформах ты запустишь свой продукт, тем больше заработаешь. Эксклюзивы для взрослых консолей как правило делают по договоренности с изготовителем консоли и это является своеобразной "киллерфичей". Потому это могут себе позволить разве что Sony или Microsoft.

Каким языком писать игру?

Вариантов довольно много, но в первую очередь это зависит от игры и от наличиствующих разрабов. Универсальный вариант - C++.

Будет ли это считаться бюджетным геймингом?

Нет. Экономически это не выгорит. Посмотрите тот же Steam Machines. Идея примерно таже, гигант Valve - результат не огонь ...

Непонятно что такое "самостоятельная игровая среда".

Суть большинства игровых сред - либо удобная дистрибьюция, либо удобная стандартизированная среда разработки/API/фреймворки, которые позволяют большому количеству разработчиков создавать продукты и таким образом наполнять список приложений.

А такие вещи как Raspberry PI и др, лучше использовать не как самостоятельную среду, а как платформу для создания продуктов, типа игровых автоматов, различных активных компонентов (например квест-комнаты, в которых необходимо создавать подвижный и программируемый антураж) - то есть это готовая среда для embedded.