Как синхронизировать закачаный проект с репозиторием на Bitbucket?

Инициализируем локальный репозиторий в папке скачанного проекта:
git init
Добавляем удалённый репозиторий:
git remote add origin https://bitbucket.org/username/reponame.git
Стягиваем удалённые коммиты/ветки к себе:
git pull origin
Связываем локальную ветку master с удалённой:
git branch --track master origin/master
Вторично стягиваем удалённые коммиты/ветки к себе (если в первый раз что-то не вышло):
git pull origin
-----
Выше описал типичные пошаговые команды, применив которые, Вы получите полную синхронизацию локального репо с удалённым. Но ситуации бывают разные, поэтому, если у Вас что-то не вышло, опишите поподробнее возникаемые ошибки, Ваши действия и т.д.

В общем ответ - никак.

Можно создать новый репозиторий локально, связать его с удаленным и попробовать синхронизировать.

Ошибка которую я делал это не добавлял все файлы в папке к репозиторию - "git add . ". Поэтому при операциях pull или fetch выдается ошибка.

Ну а ответ на главный вопрос всеровно - никак. Даже если файлы добавлены и в них нет никаких изменении, состояние локального репозитория отличается от удаленного. Чтобы git проверил что локальные файлы такие же как на удаленке ему нужно будет всеровно их скачать. Тоесть трафик всеровно потратится, два раза.

Единственный вариант это скачать у когото у кого клонирован уже проект только папку .git и уже попробовать в ней пошаманить.