1й вариант (кривой)
Если $game['link'] уже содержит полную ссылку, почему не использовать его без $this->site ?
2й вариант (кривой)
учитывая что в $game['link'] у вас полный путь, а в $this->site - домен
обрезать домен
$str = str_replace("
https://www.site.com/", "", $game['link']); // вернет page/page1
и только потом конкатенировать
$link = $this->site.$str;
3й вариант (правильный)
Найти где записывается значение в $game['link'], и изменить таким образом что адрес был относительным а не абсолютным. И тогда код
$link = $this->site.$game['link']; будет по определению правильно работать
