Как проверить работу приложения внутри докер контейнера?

вариант 1 - смотреть логи контейнера
docker logs <container_id>
вариант 2 - подключиться к контейнеру и смотреть внутри, как на обычном хосте - docker exec -it <conteiner_id> /bin/bash

второй вариант конечно может не сработать, зависит от контейнера - есть там внутри баш или нет и т.п.