nextLine() читает до конца текущей строки (символа перевода строки или конца потока) и возвращает всё, что было в этой строке.

nextDouble() читает double. Оно не читает и не пропускает ничего ПОСЛЕ double.

Итак вы вводите что-то вроде "3.15\n", где \n — символ перевода строки.
nextDouble() извлекает 3.14 и оставляет "\n" в буфере.
nextLine() натыкается на \n и прекращает работу, прочитав 0 символов — пустую строку.

Проверьте: введите в одной строке "1 2 Иванов", и оно заработает (Правда пробел перед Иванов прочтётся как часть фамилии)

Модно вызвать nextLine(), чтобы поглотить этот перенос строки и ожидать новой строки.

А теперь выведите typeid(first).name() на экран и удивитесь.

Первая строчка это объявление функции first без параметров и возвращающая int. Имя функции превращается в указатель, указатель конвертируется в bool (true), который конвертируется в int (1).

Вот так делать - это нормально?

Вполне

И что в таком случае возвращается, указатель на функцию или сама функция?

Функциональный объект. Лямбда — не функция, она может быть приведена к указателю на функцию в некоторых случаях.

Если возвращается указатель, то где хранится сама функция, в куче или стеке?

«Функция» лямбды хранится там же, где и остальной код. На лету ничего не собирается и не компилируется. Лямбда это синтаксический сахар для объявления класса с перегруженым оператором вызова функции.

И еще один вопрос, по этой же теме:
Это сокращенная запись вот такой конструкции:
Или что то другое?

lambda имеет уникальный тип. Это не функция (но может быть приведена к ней в данном случае).

std::vector<std::string> c;

Быстро перескочить не получится. Сначала придётся разобраться с моделью памяти в С++, разницу между автоматической, статической и динамической памятью...

Конкретно по коду: удалять ничего не надо, переменная a будет уничтожена автоматически, как только выйдет из области видимости.