Вы можете выложить его в гугл плей, но поместить его в альфа-/бета- тест, и назначить людей которые могут его скачивать, а потом когда выпустите нормальную версию оно обновится.

Во-первых определитесь как будет происходить обмен сообщениями, через сервер или напрямую между устройствами. Если решите отправлять сообщения на сервер, а потом пользователю, вам нужно реализовать общение с сервером, возможно простенькое API даже без SSL. Короче говоря, для работы с сетью лучше не писать велосипед и воспользоваться готовыми популярными решениями: OkHttp, Retrofit или же посмотрите в сторону Volley. В последнем случае сразу позаботитесь и о загрузке изображений, иначе воспользуйтесь Picasso, или же UIL. Далее вам нужно научится организовывать процедуру входа/выхода и регистрации в приложении и собственно получения/отправки сообщений, ну это задача не сложная требующая базовых знаний Activity и Fragment, ну и стандартных виджетов.

Google it first. Еще можно использовать свою кастомную обертку над Log в которой в зависимости от flavour ничего не выводить. Или использовать Timber

Ну потому что execute дейтствительно возврщает AsyncTask а не String. Передайте в констурктор вашего AsyncTask'a какой-то объект которому можно всунуть результат в методе onPostExecute, ну и сделайте класс task'a статическим, зачем ему неявная ссылка на DataReceiver?