Во первых у вас в запросе ошибка. Она должно быть как-то так.

SELECT * FROM `cards` 
INNER JOIN `mechanics_field` ON `mechanics_field`.card_id=`cards`.id
WHERE `mechanics_field`.`mechanics_id` = 1 and `cards`.`cost` = 3

А этот же запрос в конструкторе Laravel:

$result = DB::table('cards')
	->join('mechanics_field', 'mechanics_field.mechanics_id', '=', 'cards.mechanic_id')
	->where(['mechanics_field.mechanics_id' => 1, 'cards.cost' => 3])
	->get();

А если имеется модель Card, то можно так написать:

$result = Card::where(['mechanics_field.mechanics_id' => 1, 'cards.cost' => 3])
			->select('cards.*')
			->join('mechanics_field', 'mechanics_field.mechanics_id', '=', 'cards.mechanic_id')
			->get();

Вы пытаетесь авторизоваться через ИД.

Соответственно для него есть метод:

Auth::loginUsingId(1);

Authenticate A User By ID

To log a user into the application by their ID, you may use the loginUsingId method. This method accepts the primary key of the user you wish to authenticate:

Auth::loginUsingId(1);

// Login and "remember" the given user...
Auth::loginUsingId(1, true);

https://laravel.com/docs/5.6/authentication

В документации все написано.

Например.

$result = DB::select("SELECT * FROM goods"); // пример запроса

if(!Cache::has('goods')){
       // если в кэше нет то сохраняем в кэш
      Cache::put('goods', $result, 15); // на 15 минут сохраняем в кэш
      $goods = Cache::get('goods'); // получаем из кэша
}else{
       // получаем из кэша
      $goods = Cache::get('goods'); // получаем из кэша
}