Как стартовать веб-сервер Azure и привязать домен к нему?

1) Зайдите в свойства своей новой виртуальной машины (вкладка Dashboard) и запишите Public Virtual IP, который выделил вам Azure (т.е. тот IP, по которому вы можете добраться до машины, например, введя http://IP)
2) Зайдите в панель управления своим доменом (на том сайте, где вы его купили) и поищите раздел "DNS Records", т.е. место, где вы можете зарегистрировать нужную DNS запись. Для простого ресолвинга DNS->IP вам потребуется создать А запись, указывающую на IP из шага №1.
3) Подождите некоторое время, пока созданная вами DNS запись распространится на другие сервера (обычно занимает от 5 минут до часа). Проверить можно выполнив команду ping ваш_днс в консоли. Если в результате вы увидите ваш IP - значит домен готов.
4) Теперь вы можете соединяться с вашей новой машиной по домену.

PS. Не забудьте также в Azure портале виртуальной машины открыть нужный порт на вкладке Endpoints (HTTP и проч.)

Azure позволяет держать сайты на asp.net mvc в виде так называемой веб-роли, т.к более дорогая виртуальная машина Вам просто не нужна.