Как загрузить клон GIT репозитария через TortoiseGit или через командную строку?

Глупости. Нет никаких файлов *.git в репозиториях.

Пардон, исправился.
Но там точно путь не до директории .git должен быть.

В директории сайта при git init создается папка .git

Попробуйте так:
mkdir /home/www/hosting/site.git/
cd /home/www/hosting/site.git/
git init --bare --shared
cd /home/www/hosting/site/
git init
git remote add origin www@192.168.1.5:/home/www/hosting/site.git
git add *
git push

А на машине куда вы хотите это "импортировать" надо будет сделать:
cd path
git clone www@192.168.1.5:/home/www/hosting/site.git

@zBit Что-то вы всего подряд намешали.

Создание репозитория на сервере:
mkdir /home/www/hosting/site.git
cd /home/www/hosting/site.git
git init --bare --shared

На клиентской машине:
git clone www@192.168.1.5:/home/www/hosting/site.git
Складываем полученную папку нужные нам файлы проекта
git add *
git commit -m "Initial commit"
git push

Все.

Ну и так, для справки. Сам не знал, пока не загуглил:
Папка с репозиторием, создаваемым с ключом --bare (обязателен для расшаренных репозиториев) обязательно должна иметь суффикс .git

Сам не знал, что можно без сервака организовать гит репозиторий. А потом чисто для интереса решил загуглить "git without server" и наткнулся на документацию где в самом конце написано как организовать репозиторий для шаринга.

Но задача же стоит вот так:
>> В данной директории /home/www/hosting/site/ лежат внутренности сайта, которые я хочу выкачать к себе на компьютер в эту директорию: c:\Git3\

А у вас получается наоборот с клиентской машины (там где кода нет) запушить исходники.

Как я понял задача такая:
Есть сервак где лежат исходники и их надо организовать в гит репозиторий. Потом на клиентской машине клонировать репозиторий созданный на серваке, чтобы внутренности сайта появились на клиентской машине.

Поэтому,
На серваке, откуда надо слить внутренности сайта делаем:

Создаём папку для репозитория
mkdir /home/www/hosting/site.git/
cd /home/www/hosting/site.git/

Создаём "голый" репозиторий
git init --bare --shared

Заходим в папку с внутренностями сайта
cd /home/www/hosting/site/

Далее
git init

Добавляем источник
git remote add origin www@192.168.1.5:/home/www/hosting/site.git

Добавляем все внутренности сайта в репозиторий
git add *
git commit -am 'init'

Пушим
git push

А на клиентской машине, куда нам надо слить внутренности сайта:
cd c:\Git3\
git clone www@192.168.1.5:/home/www/hosting/site.git

Надо удалить ненужные комменты, чтобы людей не путать ;)

С командной строкой заработало, благодарю! Осталось понять как заставить работать TortoiseGit :)

Не за что. Но я бы не поленился, создал виртуалку с убунтой и там всё делал.

В данный момент как раз над этим работаем...