Работа роутера от внешнего источника питания, что можете посоветовать?

Откройте для себя PoE

Характеристики несколько странные 14ватт 0,8 ампер 24 вольт. Или ампераж для блока питания указан?
Ну фиг с ними, считаем 14ватт*14часов=196ватт/часов
Считаем аккумулятор 196/24=8,9 Т.е вам нужен 24в аккумулятор минимум на 10а/ч.
Ну или два 12вольт аккумулятора каждый на 20а/ч.
К аккумуляторам - умное зарядное устройство.
Если будете использовать свинцово кислотные аккумуляторы, то не забывайте что с них можно безопасно брать не более 50% емкости. Т.е если вам нужны 20а/ч то аккумулятор должен быть как минимум 40а/ч.
Если не свинцовые а литиевые, то тогда желательно помнить что литий нельзя заряжать при отрицательных температурах.

Еще несколько смущает тот факт что вы утверждаете про наличие питания на линии освещения 10- часов есть, а 14часов нет. Это для лета или для зимы? Есть вероятность что летом питание на линии освещения будет подаваться меньшее время.

Зарядное и 2 12-вольтовых аккумулятора 42 Ач, чтоб на морозе 10 часов продержались.

А если солнечные батареи? В некоторых европейских городах видел, в т.ч. в тех, где солнышка не больше, чем в Москве. Уменьшить мощность роутера.
В теории ни могут подзаряжать литиевый аккум стоимостью 10 баксов (в Китае), которого вполне может хватить.