Как сделать auto width для поля input?

Правда, ширина только увеличивается, а не уменьшается, и точно работает только для моноширинных шрифтов, у которых проставлен font-size, соответствующий ширине символа в 8px. Я бы всё-таки рекомендовал написать небольшой плагин для этого, основанный, например, на невидимом div с такими же параметрами шрифта как у input.

teotlu: подправил, чтобы работало и при удалении. Вообще погрешность не большая, если шрифт не дюже заковыристый.

Все бы ничего, но пробел то не учитывает

Изменить на
white-space: pre;

Хорошее решение!
Я бы ещё добавил, когда value меняется программно....
$input_count.on('input change', function(e) {

и учитывать шрифт

.input-buffer {
  position: absolute;
  top: -1000px;
  left: -1000px;
  visibility: hidden;
  white-space: nowrap;
  font-family: inherit;
  letter-spacing: inherit;
  font-size: 20px;
}

и если value меняется кнопками + и -

$input_count.trigger('change');

Здесь white-space: pre надо сделать. Иначе двойные пробелы схлапываются