Задача про стену и кирпичи. Как решить?

Ну, я бы начал с решения уравнения в целых положительных числах 3*x+4*y=25. Решений две штуки: (x=3, y=4) и (x=7, y=1). Т.е. у нас 2 класса рядов. Вариантов расположения кирпичей в первом классе 7!/(3!*4!)=35, во втором классе 8!/(7!*1!)=8. Итого 35+8=43 вариантов ряда. Генерируем их. Теперь заполняем матрицу размером 43*43, ставя единички там, где ряды кирпичей (один в столбце, второй в колонке) совместимы с условием отсутствия общей вертикальной щели (для каждого варианта ряда строим множество {L[1], L[1]+L[2], ... L1+...L[N-1]}, потом очевидно, что ряды "совместимы", если пересечение множеств пустое). Это все быстро и памяти немного надо. На питоне - 30 строк. Кстати, в построенной матрице нулей сильно больше, чем единиц. несколько рядов просто ни с одним другим не совместимы. А потом, увы, перебор, если я правильно понял условие задачи. Типа как в классической задаче "поставить 8 ферзей на шахматную доску, чтобы они не били друг друга".

Update:

Код на питоне 3.4.3, решающий задачу перебором (кроме получения "классов" рядов), приведен ниже:

import itertools


def build_tail(height, row):
    if height == 9:
        return neighbours_number[row]
    else:
        return sum(build_tail(height+1, i) for i in acceptable_neighbours[row])


rows = {i for i in itertools.permutations([3, 3, 3, 4, 4, 4, 4], 7)} | \
       {i for i in itertools.permutations([3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4], 8)}

acc_rows = [set(itertools.accumulate(row[: -1])) for row in rows]
acceptable_neighbours = [[i for i, b in enumerate(acc_rows) if not (a & b)] for a in acc_rows] # copied from @bobrovskyserg
neighbours_number = [len(i) for i in acceptable_neighbours]

print(sum(build_tail(1, i) for i in range(0, len(acc_rows))))

Время решения ~40 секунд, ответ bobrovskyserg подтверждаю. Пошел разбираться с его алгоритмом...

Копай в динамическое программирование.
UPDATE
> А потом, увы, перебор, если я правильно понял условие задачи
хе-хе, не хочет копать Andy_U

# строим всевозможные комбинации кирпичей длинной 25
nxt, rows = [(3,), (4,)], []
while nxt:
    cur, nxt = nxt, []
    for row in cur:
        for brick in 3, 4:
            le = row[-1] + brick
            if le < 23:
                nxt.append(row + (le,))
            elif le == 25:
                rows.append(frozenset(row))

# все комбинации длинны 25 лежат в листе rows, т.е. занумерованы
# строим лист, где по номеру каждой комбинации
# лежит список номеров неконфликтующих комбинаций
friendly_row = [[i for i, b in enumerate(rows) if not (a & b)] for a in rows]

nxt = [1] * len(rows)  # в первом слое может лежать любая комбинация
for _ in range(10 - 1):  # есть же один слой
    cur, nxt = nxt, [0] * len(rows)
    for i, n in enumerate(cur):
        for j in friendly_row[i]:
            nxt[j] += n
print(sum(nxt))

UPUPDATE: разгоним рекурсивное решение

cache = {}

def build_tail(height, row):
    if height == 9:
        return neighbours_number[row]
    if (height, row) in cache:
        return cache[height, row]
    cache[height, row] = res = sum(build_tail(height + 1, i) for i in acceptable_neighbours[row])
    return res

rows = {i for i in itertools.permutations([3, 3, 3, 4, 4, 4, 4], 7)} | \
       {i for i in itertools.permutations([3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4], 8)}

acc_rows = [set(itertools.accumulate(row[: -1])) for row in rows]
acceptable_neighbours = [[i for i, b in enumerate(acc_rows) if not (a & b)] for a in acc_rows]
neighbours_number = [len(i) for i in acceptable_neighbours]

print(sum(build_tail(1, i) for i in range(0, len(acc_rows))))

Строите матрицу перехода между рядами (43х43, как описано в ответе Andy_U ), потом возводите её в 9-ю степень (поскольку у нас 9 переходов) и считаете сумму всех элементов (поскольку первый и последний ряд могут быть любыми). Всё.
Работает для любого числа рядов, хоть для триллиона :) Только потребуется быстрое возведение в степень.
Но это будет число способов построить стену. Если имелось в виду число наборов кирпичей (сколько может быть кирпичей 3x1 и сколько 4x1), то надо подумать, как сделать проще всего.