Проблема browser-sync. Как решить?

Можно начать с установки:

1. Node.js (последней версии);
2. Microsoft Visual C++ 2008 Redistributable Package (x86);
3. Microsoft .NET Framework 4.5.2.

На всякий случай перезапустить систему, а затем смотреть чего еще не хватает.

Также проверить правильно ли установлен и настроен Python, можно по этой статье.

Попробуйте удалить папку node_modules, а после выполнить -

npm cache clean
npm install

Но если не сработает, то нужно ставить последнею, можно и бесплатную Visual Studio Community. Она подтягивает все нужные библиотеки и уже после, если по прежнему не будет работать, то сделайте так, как написано в самом начале - удалите и выполните.

UPD: сорри, спутал консольные команды. Исправил.