Putty. При закрытии останавливается процесс?

1. Если разрывается связь, процессу отправляется сигнал SIGHUP, что означает "трубка повешена, связь с терминалом оборвана, пора завершаться".
Чтобы предотвратить, пользуются командой nohup, которая блокирует этот сигнал, и при разрыве связи продолжает эмулировать терминал, сохраняя весь вывод на "экран" в файл nohup.out

2. использовать экранные менеджеры screen или tmux, которые изначально сохранают сессию, даже если разорвать связь, и можно переподключившись, восстановить сессию.

man screen

tmux или screen нужно использовать

1. tmux удобнее чем screen.

Сессия tmux — это совокупность псевдо-терминалов, находящихся под управлением tmux’а. К каждой сессии привязаны одно или более окон. Экран может быть занят как только одним окном, так и мозаикой из нескольких окон, каждое из которых соответствует одному псевдо-терминалу.

Несколько экземпляров tmux могут быть присоединены к единственной сессии, а в одной сессии может быть неограниченное количество окон. После закрытия всех сессий работа tmux прекращается.

Программа tmux задумывалась как замена программы GNU Screen.

2. nohup
nohup abcd &

Можно также воспользоваться утилитой nohup, которая позволяет процессам продолжать работу даже после того, как вы выйдете из системы

command &
Ставьте в конце &
Процесс уйдет в фон.
Если нужно чтобы еще в экран не писал статусы
command & > echo /dev/null

На уже запущенной задаче:
ctrl-z
bg
disown

Из минусов - вернуться к ней будет уже нельзя, если нужно - задачу заранее необходимо запускать в screen/tmux