Как тестировать верстку под разные браузеры и экраны?

Под мобильные устройства тестирую с помощью стандартных функций браузера (Firefox & Chrome это умеет в devtools)
Так же есть такая штука - ami.responsivedesign.is
Доступные размеры:
настольный монитор — 1600 x 992px;
ноутбук — 1280 x 802px;
планшет — 768 x 1024px;
мобильный телефон — 320 x 480px.

Так же есть это - deviceponsive.com
Устройства и доступные разрешения экранов.
Macbook — 1280 x 800
iPad портрет — 768 x 1024
iPad портрет — 1024 x 768
Kindle портрет — 600 x 1024
Kindle альбомная ориентация — 1024 x 600
iPhone портрет — 320 x 480
iPhone альбомная ориентация — 480 x 320
Galaxy портрет — 240 x 320
Galaxy альбомная ориентация — 320 x 240

Ну и мой любимый - quirktools.com/screenfly
Доступно 9 больше чем планшет устройств — от 10" ноутбуков, до 24" мониторов, 5 планшетов, 9 телефонов, 3 телевизионных разрешения, а также произвольное разрешение. Есть отдельный переключатель в портретный и альбомный режим, а также опция показа прокрутки.

1) Эмуляция мобильных устройств в devtools в хроме и firefox
2) Эмуляция старых IE в Edge
3) https://www.browserstack.com/

Ну и регулярно вручную смотреть, где есть возможность, да.

По девайсам - sauceLabs. Насколько я знаю, они одни из немногих, кто дает живые девайсы, а не эмуляторы.
В остальных случаях - готовьтесь к серьезным погрешностям.

По браузерам - оптимальное решение это виртуалки, нет - browserstack и альтернативы (или упомянутый уже сауслабс).
Использовать девтулс и эмуляторы предыдущих версий (например для IE, как выше советовали) - только для "очень грубой" проверки. Точных результатов там не ждите.