Как заставить чат работать через интернет?

Кто нибудь, отключите ему электричество.......

Что бы чат работал через инет, мне нужно серверную часть где-то хостить?

Да.

Могу ли я быть хостом без всяких digital ocean?

Да. Если у вас 'белый' (глобально маршрутизируемый) IP-адрес, то надо будет настроить на вашем домашнем маршрутизаторе соответствующую трансляцию (т.н. 'проброс порта'). Если у вас 'серый' IP-адрес, можете поэкспериментировать с сервисами туннелирования или с Tor, например. С этим топиком тоже стоит ознакомиться. Еще недавно появился какой-то сервис-стартап для разработчиков, решающий проблему публикации сервиса за NAT в пару кликов, но название, к сожалению, не вспомню.