Как сделать деплой из git репозитория, не подтягивая всю историю?

Хранишь в master-ветке только работоспособный код.
При развертывании нового сервера

git clone git@repo/repo.git path/to/project --depth=1

при обновлении
git pull origin master

Для автоматического обновления при push'е в мастер, настраиваешь хук на скрипт доступный из интернета который будет делать git pull

Команда git pull притягивает только изменения

rsync

p.s. GIT это система контроля версий, а не деплоймент тула. Используйте капистраны всякие для деплоймента.