Как максимально быстро перенести сайт с корпоративной почтой?

В общем такая ситуация. Заказчик предлагает постоянную работу по поддержке сайта на вордпресс, но дает тестовое задание по переносу сайта с хостинга на хостинг.
Домен у него припаркован на godaddy. Аккаунты от хостингов он мне уже дал. Все как бы просто, но...
Он говорит, что люди постоянно отправляют имэйлы с сайта, поэтому нежелателен любой downtime в процессе отправки писем. А почта у него корпоративная, то есть если скажем его домен customer.com, то его почта john@customer.com
Насколько я понимаю, у него где-то почтовый сервер или может у него гугловская корпоративная почта? Я в вопросе почты и MX записей полный ноль.
Что мне вообще делать, чтобы его имэйлы никуда не пропали во время переноса и продолжали отсылаться после переноса? Я так понимаю, после переноса файлов сайта и базы данных на другой хостинг и изменения name servers у регистратора сайт должен заработать на новом хостинге. А что будет с почтой, будет ли она работать?
Помогите, пожалуйста, прояснить ситуацию.