Как реализовать анимации в React?

Если вам нужно плавно скрыть элемент - CSSTransitionGroup вполне подойдет. Прочтите документацию - https://facebook.github.io/react/docs/animation.html (не вижу смысла здесь ее переписывать). В общем принцип работы таков - компонент CSSTransitionGroup сохранит элемент в DOM на время перехода (анимации) и сразу после ее завершения - удалит (если речь об удалении DOM).

Вот так у меня выглядит код для такого меню:

<CSSTransitionGroup transitionName="ProductCategoriesMenu--submenu-transition" transitionEnter={false}>
          {category.products.length && isCategorySelected ? this.renderSubMenu(category) : null}
        </CSSTransitionGroup>

.ProductCategoriesMenu--submenu-transition-leave {
  max-height: 1000px;
  overflow: hidden;
}

.ProductCategoriesMenu--submenu-transition-leave-active {
  max-height: 0;
  transition: max-height 1s cubic-bezier(0.22, 0.61, 0.36, 1);
}