Сколько измерений имеет комплексная координатная «плоскость»?

Комплексное число очень грубо можно рассматривать как вектор двух действительных чисел (сейчас тут математики громко возмутятся, пускай, будет интересно их послушать). На двухмерной координатной плоскости хорошо представляются значения (но не координатные пары) комплексных чисел, их ряды и интервалы (в виде двумерных кривых). В трехмерном пространстве можно представлять графики комплексных функций от действительных аргументов и действительных функций от комплексных аргументов. Но комплексная функция от комплексного аргумента не имеет графического представления, потому что такое представление возможно только в четырехмерном пространстве.

У вас немного раньше ошибка заложена: вы говорите что вещественные числа это x и y. На самом деле каждая из этих осей является осью вещественных чисел, а вместе они накладываются на лист бумаги, чтобы можно было описать любую точку в двумерном пространстве.
Когда мы расширяем нашу область до комплексных чисел, это можно сказать следующий качественный переход (как например от рациональных к вещественным) - когда поняли, что между любыми двумя числами есть еще бесконечное множество чисел. Дальше идет куча мудреной математики чтобы правильно задать стандартные операции над этими числами (сложение, умножение...), но как следствие многие операции удобно изображать в двумерном пространстве (на плоскости) где осью y выступает наша мнимая часть. Так что весьма упрощенно (для школы) можно сказать то эти числа можно рассматривать как двухмерные.

Сразу отвечу на ваш вопрос: да, получится 4-ое пространство.
Вещественная функция, как и комплексная, принимает какие-либо значения. Для области, которая содержит эти значения, требуется дополнительное измерение, то есть, например:

1. Для вещественной функции от одной переменной потребуется дополнительная ось. Ее обычно обозначают осью Oy
   
2. Для вещественной функции от двух переменной потребуется ещё одна дополнительная ось. Ее обычно обозначают осью Oz
   

На этом графическое изображение функций вещественной переменной заканчивается. Аналогичные рассуждения можно привести для функции комплексной переменной:

1. Для комплексной функции от одной переменной потребуется дополнительных две оси (действительная и мнимая), так как значение функции есть комплексное число. Таким образом на первой шаге забрались в 4-х мерное пространство
   
2. Для комплексной функции от двух переменной потребуется ещё две дополнительных оси.
   

Таким образом комплексную функцию от одной переменной изобразить уже нельзя.

Следующими "хорошими" числами являются кватернионы. Подумайте, как обстоят дела с ними =)