Какую запись делать в трудовой?

для крупной компании

Кадровик не знает что писать в трудовую

Оператор ЭВМ.

программист, если без ВО
инженер-программист, если с техническим ВО

В крупной компании такой неопытный кадровик?

Правильно будет написать:
"Инженер-программист" если стаж больше трех лет;
"Техник-программист" если стаж менее трех лет;

Пусь напишут веб-дизайнер, веб-программист, программист, веб-разработчик. Просто писать профессии вроде можно только те которые в госреестре есть (хотя я не уверен).
В общем, я часто участвую в собеседованиях и ни одного кандидата мы ещё не спрашивали: а что у вас написано в трудовой? ))) Обычно так спрашиваешь чем занимались, многие вообще неофициально работали.

Не волнуйся, с июля всё будет по другому - профессиональный стандарт называется!
Будешь специалистом по веб-дизайну, а пока программистом запишись.

Такая размазанная должность называется Веб-мастер.