Можно ли в Яндекс.Вебвизор следить за внутренней частью сайта?

нельзя

вибвизор имеет эти данные, но никак их не покажет

Нельзя. Для просмотра действий в закрытой части нужно другие сервисы ставить. Вспоминается только интерком, но могу ошибаться, что он для этого. Ну и гугл в помощь.

Можно.
Но для этого нужна дополнительная настройка.
https://yandex.ru/support/metrika/general/counter-...
Надо включить Запись страниц при просмотре посетителем: Из браузера
Для записи всех страниц указать регулярное выражение - regexp:.*
При этом записывается только html код, объём кода не больше 185 кБ.
Если у вас динамические урлы, то надо добавить в настройках счётчика Отслеживание хэша в адресной строке.
Текущая версия Вебвизора плохо работает с динамическими адресами и большая часть данных может быть записана не корректно.
Но Яндекс сейчас тестирует Вебвизор 2.0 - возможно скоро будет лучше.