Имеет ли смысл использовать REST(ful) API для работы самого вебсайта?

Что значит "гонять все данные через api"? Вернее, как можно НЕ делать этого?
Что вы понимаете под REST API? Часто его понимают по-разному.
Как я понял: REST API на самом деле означает никакой не AJAX и не JSON, а просто удобную форму URLов (CRUD и т.д.), а насчет AJAX и формата (JSON, HTML или что) оно никаких правил не диктует.

Но:
1) JSON создает тормоза на клиенте в браузере (клиент будет толстый - JSON надо парсить и рендерить в DOM). Ну так пусть API умеет возвращать как JSON ,так и готовый HTML, первый оставим мобилодесктопным клиентам, а второй в браузере - и всем будет хорошо. Примерно так сделано у VK, Facebook и мн. др.
2) тормоза появляются, когда просто очень много тяжелых запросов и много логики на клиенте. Пример: весь портал гугла. Но никаким API и архитектурой там вообще не пахнет, как по мне.
3) тормоза появляются, когда ради фигни перезагружают страницу целиком, а не частично. Но можно сделать AJAX. И логика аякса (HTML-версии API) будет не сильно отличаться от JSON-версии, одно легко переделать на другое.

проблема в том, что rest подразумевает http запросы в любом случае, внутри проекта это может давать излишний overhead, однако это позволяет легко организовать микросервисную архитектуру/выдать наружу часть api, так что выбор есть