Хитрости при отыскании передаточных функций пассивных четырёхполюсников?

Вкратце: интересуют способы расчёта коэффициента передачи напряжения для пассивного четырёхполюсника, не требующие составления полной системы уравнений для цепи. Под катом — пример схемы, когда типичный упрощённый способ расчёта не может быть применён, и вопрос, какие ещё бывают методы упрощения цепей (помимо обычной свёртки параллельных и последовательных сопротивлений и применения преобразования «треугольник-звезда»).


Разумеется, интерес тут совершенно праздный, так как на практике систему уравнений, описывающих линейную цепь, всегда можно символьно решить при помощи какого-нибудь mathcad'a, после чего попросить mathcad же поделить выражение для напряжения на нагрузке на выражение для входного напряжения, и получить точную формулу для коэффициента передачи.






Задачка, а скорее — общий вопрос, возникла, когда ко мне обратился один знакомый студент с просьбой подсказать, как найти коэффициент передачи напряжения для некоторого пассивного четырёхполюсника.

Теория; как это считают в общем видеЛюбой, не зря прослушавший в вузе лекции по линейным цепям, сразу же (в любом случае, довольно быстро) вспомнит, о чём именно меня спросили: есть некоторая куча точек i, пусть от 1..N, соединённых в некотором порядке комплексными сопротивлениями; коэффициент передачи напряжения есть отношение Ů_ij / Ů_km, для четырёхполюсника, у которого точки k, m (желательно, не одна и та же) принимают входной сигнал, а с точек i,j снимается выходное напряжение.


Весьма очевидно, что отношение сигналов Ů_вых и Ů_вх для пассивного четырёхполюсника (то есть, состоящего только из комплексных сопротивлений, читай — резисторов, ёмкостей и индуктивностей) определется исключительно структурой схемы и номиналами элементов. Впрочем, это всё любой человек, сдававший ТОЭ, знает и без меня.


… как и обычный метод отыскания коэффициента передачи напряжения. Действительно, система уравнений Кирхгофа в любом случае даёт нам ответ (K̊ = f(Z₁₂,Z₁₃,...Z_N-1,N), но какой ценой, ага. Странно, кстати, что-то диакритический знак как-то криво отображается.



Естественно, на практических занятиях народ так делает редко. Всё дело в том, что есть определённые ситуации, в которых выражение передаточной функции можно получить проще, не составляя всю систему уравнений. Именно о таких ситуациях мне и хотелось бы поговорить.


Итак, есть некоторая схема, передаточную функцию которой (пусть для определённости это будет отношение напряжений) нам хотелось бы получить.


Да, можно составить систему уравнений и вывести выражение для нужной нам передаточной функции. Но иногда можно сократить объём вычислений: например, если четырёхполюсник можно (путём свёртки) привести к виду
, то его передаточная функция есть отношение Z₂ / (Z₁ + Z₂), что, как правило, намного проще, чем система уравнений. Это, кстати, и был тот способ, которым предлагалось воспользоваться знакомому мне студенту.


Налицо искусственный приём, упрощающий вычисления. К сожалению, не всегда этот приём можно применить, и к схеме, соответствовавшей его варианту задания (я уже не помню, выдумывал ли преподаватель схему на лету, или брал из задачника), применить этот метод было нельзя.


Вопрос: какие ещё методы упрощения схемы вам известны? Есть ли ещё способы получения передаточной функции цепи, не требующие составления полной системы уравнений?