Чем отличается выделенный сервер от хостинга для игровых серверов?

Разные поставщики понимают под "игровым хостингом" совершенно отличающиеся услуги.
Судя по контексту, "хостингом для игровых серверов" Ваш поставщик называет готовый игровой сервер с продажей слотов. Будем исходить из этого.

Домашний сервер (aka "под столом"):
+ Практически полное отсутствие денежных инвестиций (только инет и ремонт компа)
+ Много уже имеющейся RAM
+ Полное управление над сервером и его окружением (в т.ч. аппаратно)
- Самостоятельное администрирование
- Нужно самому делать бекапы
- Неустойчивость перед сетевыми атаками (а Minecraft от них особенно уязвим из-за UDP)
- Риск плохой связности с частью игроков (но иногда на провайдера везёт)
- Нужен прямой IP
- Спонтанное выключение сервера при отключении электричества (если нет бесперебойника), корраптящие или откатывающие файлы игрового мира

Подходит для игры закрытой компанией знакомых (до 5-15 человек).
Не подходит для размещения >15 человек (условно) и популяризации в сети, т.к. риск не справиться с сетевой атакой и больше вероятности оффлайнов или потери данных (ответственность перед игроками).

Игровой хостинг:
+ Отсутствие геморроя с администрированием окружения и аппаратным ремонтом
+ Отсутствие геморроя с настройкой сервера самой игры
+ Бекапы делают за вас
+ Игровой сервер сопровождают за вас (обновление minecraft.jar, плагинов к серверу и т.д.), и делают это хорошо, т.к. специализируются на этом
+ Хоть какая-либо защита от DDoS, т.к. от атаки одного, страдают все клиенты, в чём хостер не заинтересован
- Ежемесячная аренда услуги
- Отсутствие полноценного доступа к серверу
- Риск попасть на непрофессиональных недоучек (т.к. это ниша, наполненная "школьными" предпринимателями) и вытекающие из этого риски
- Риск появления лагов от перегрузки у соседей (напр.: на них обрушился DDoS)
- Зависимость от ассортимента и версий minecraft.jar и плагинов, которые выберет хостер
- Дорогостоящее расширение кол-ва слотов

Подходит для начинающего публичного сервера до 20 человек.
Становится невыгодным для размещения большого количества человек по мере роста сервера.

Выделенный сервер (VPS/VDS):
+ Значительно дешевле, чем аренда слотов у игрового хостинга
+ Полное управление над сервером
+ Независимость от хостера во всём: версии Minecraft, плагины, операционка, окружение
- Ежемесячная аренда услуги
- Стоимость во многом зависит от кол-ва RAM
- Риск появления лагов от перегрузки у соседей (напр.: на них обрушился DDoS)
- Защита от DDoS есть далеко не у всех провайдеров VPS/VDS
- Нужно самому делать бекапы

Подходит для средних и крупных серверов Minecraft.
Невыгоден для размещения 1-5 человек.

Если вы это делаете для себя и друзей просто поиграть - то проще свой комп под столом или в кладовке,
Если же цель зарабатывать то vds или даже выделенный сервер предпочтительней.
Ну и главное бекапы бекапы бекапы =) ничто так не угнаетает игроков, как откаты на пару дней назад.

Зависит, действительно, от ваших желаний и вашего настроя.
Если для себя и друзей - можно ограничиться компом дома.

Если на небольшую аудиторию - можно рассматривать вариант VPS/VDS (виртуальный выделенный сервер), на виртуализации KVM.
Т.к. в отличие от OVZ ресурсы сервера выделяются более изолированно. Вы не зависите так от "соседей" как на OVZ.
У некоторых провайдеров есть возможность подключать/отключать канал с защитой от DDoS когда это необходимо.

Если планируете профессионально подойти к данному вопросу - выделенный физический север.
Конфигурации на базе Intel Xeon. Желательно не менее 4-8 ядер CPU, 8-16 Гб RAM, диски по желанию. Во многом все зависит от требований игры к серверу и сложности проекта вцелом.