Как сделать прокси для утерявшего домен сайта за Cloudflare?

Вы должны зарегистрировать домен у регистратора. Это единственный путь без правки hosts.

Ну или зарегистрировать другой домен + nginx + proxy_pass + set $host + ...
А на сайте случаем нет прямых ссылок на свой (несуществующий) домен?
Если есть тогда придется делать иначе, фильтровать html, css, js и заменять старый домен на новый.
Что-то типа https://www.ruby-forum.com/topic/178781

UPD. Не понял задачу - nginx или squid? Сайт должен заработать для всех или только тех у кого есть доступ к прокси? Если через прокси, то, возможно, достаточно занести его в host, настроить squid на локальный резолвер имен и все.

в 3proxy

allow * * www.site.name,site.name 80
parent 1000 tcp 1.2.3.4 80
deny *
proxy -a -n -p 80

либо просто
tcppm 80 1.2.3.4 80
(проброс порта)