Можно ли формировать http запросы без помощи curl, sockets и т.д., а, например, с помощью js?

Человек предлагает выполнять запрос из браузера и светить пароль, пусть даже в виде хэша? Возьмите https://github.com/jhaoda/SMSCenter и не мучайтесь.

php - file_get_contents, fopen - т.е. через stream wrappers.

js - на клиентском о таком не слышал, на серверном скорее всего можно, но тут нужна Node.js

AJAX вам в помощь.
JhaoDa прав. Переданные данные будут доступны для чтения так что это не есть хорошо

jQuery.ajax({
  'url':'link_to_api',
  'data':'string_or_object',
  ...
});

sockets здесь ни при чем, это для протокола TCP/IP, а здесь HTTP, любые HTTP-запросы можно отправлять с сервера с помощью Node.js или PHP, самое простое - file_get_contents в PHP, а если с клиентской части (JavaScript), то с помощью jQuery или непосредственно XMLHttpRequest ( xmlhttprequest.ru ), но для отправки запросов из браузера требуется, чтобы сервер (smsc.ru) разрешал это (кросс-доменная политика).

var settings = {
  "async": true,
  "crossDomain": true,
  "url": "https://smsc.ru/sys/send.php?login=login&psw=pass&phones=phones&mes=message",
  "method": "GET",
  "headers": {
    "cache-control": "no-cache",
  }
}

$.ajax(settings).done(function (response) {
  console.log(response);
});