Где хранить временные данные во время работы приложения?

Можно передавать в Activity (с помощью putExtra/Bundle), а можно и "типа кук" (сохранять при закрытии и восстаналивать при запуске), это Preferences или SharedPreferences.

SharedPreferences можно с ними поиграться, удобно, можно в публичном доступе хранить, можно в приватном, если информация по поводу конкретного аккаунта то есть AccountManager, это вот когда заходишь в настройки где аккаунты висят, вот аккаунт менеджер отвечает за него но там личную информацию лучше не хранить, только общую

Можете использовать класс синглтон в объекте Application.

public class MyApplication extends Application {

    private MyData myData;

    public static MyApplication get(Context context) {
        return (MyApplication) context.getApplicationContext();
    }

    public MyData getMyData() {
        if (myData == null) {
            myData = new MyData();
        }
        return myData;
    }
}