Как использовать Принцип подстановки Барбары Лисков применительно к PHP?

В вашем примере вы называете переопределение метода перегрузкой, а вызов метода переданного класса в методе иного класса - double dispatch'ем, что достаточно далеко от их определений.

Зачем? Можно так сделать, но не вижу ничего плохого, если есть ряд методов, связанных одной задачей.

Хендлеры делают разные вещи, это, так сказать, источник проблемы.

Проблема на высоком уровне такова:

class SimplePrinter implements Printer
{
    public function print(Circle $shape) {}
    public function print(Rectangle $shape) {}
    public function print(Square $shape) {}
}

class SimplePrinter implements Printer
{
    public function print(Shape $shape) 
    {
           $shapePrinter = [
                Circle::class => [$this, 'printCircle'],
                Rectangle::class => [$this, 'printRectangle'],
                printSquare::class => [$this, 'printSquare'],
           ][get_class($shape)] ?? null;

           if (null === $shapePrinter) {
                 // throw exception
           }

           $shapePrinter($shape);
    }
    private function printCircle(Circle $shape) {}
    private function printRectangle(Rectangle $shape) {}
    private function printSquare(Square $shape) {}
}

interface Printer
{
    public function printRectangle(Rectangle $shape);
    public function printCircle(Rectangle $shape);
    // ...
}
abstract class Shape
{
    abstract public function print(Printer $printer);
}

class Rectangle extends Shape
{
    public function print(Printer $printer)
    {
         $printer->printRectangle($this);
    }
}

interface Printer
{
    public function supports(Shape $shape);
    public function print(Shape $shape);
}

class DefaultPrinter implements Printer
{
     private $printers;
     public function __construct(array $printers) { $this->printers = $printers; }

     public function supports(Shape $shape) { return true; }
     public function print(Shape $shape)
     {
           foreach ($this->printers as $printer) {
                if ($printer->supports($shape)) {
                     return $printer->print($shape);
                }
           }
     }
}

class CircleDefaultPrinter implements Printer
{
    public function supports(Shape $shape)
    {
          return $shape instanceof Circle;
    }

    public function print(Shape $shape) 
    {
        // ...
    }
}

printer = Dispatch();
printer.add_call((Circle), default_circle_printer)
printer.add_call((Rectangle), default_rectangle_printer)

printer(shape) // multiple dispatch

interface Printer
{
    public function printRectangle(Rectangle $shape);
    public function printCircle(Rectangle $shape);
    // ...
}