Где найти мануал по миграции с шаред-хостинга на VDS?

Сначала тебе нужно понять что такое VDS, а в твоем случае думаю даже не он а VPS и тебе все станет понятно
Ну а в ответ, ручками, через ftp, ssh, ну а для продвинутых docker и git

Думаю и мануал не нужен, там главное это знать что и как работает. В части переноса шаред ничем не будет отличаться от VPS. Тот же ftp теже папки, таже бд, только все это находится в изолированном пространстве виртуального или физического выделенных серверов

Берите администрируемый VPS хостинг и будет Вам счастье.
Без каких либо познаний Unix систем, лезть в эти дебри не рекомендую, ничего хорошего из этого не получится.
Помимо переноса файлов и БД сайта, VPS необходимо настроить для корректной работы как самого сервера так и размещенных web-сайтов и приложений.

Да чего там переносить-то? Это ж как два файла скопировать.

• Сначала уменьшаете время TTL в NS которые обслуживают домен например на 600 секунд (10 минут);
  
• Затем настраиваете LAMP VDS или что Вам там нужно;
  
• Потом запаковываете файлы и базу на шареде; Кладёте в место доступное только тому кто знает пароль (подсказка .htaccess) или доступное только через FTP (за пределами public_html). Сайт переводите в режим поддержки или ReadOnly чтобы не "профукать" изменения;
  
• Стягиваете на VDS-ку и распаковывыете. Файлы кладёте куда нужно, а базу ресторите.
  
• Прописываете в файл hosts на своём компе нужное имя домена и IP вашего VDS и проверяете что сайт работает с вашего VDS и как нужно. Хорошо бы положить на VDS какой-то "маркер" чтобы легко отличить от основного работающего сайта;
  
• Если всё пучком - меняете A запись в NS и возвращаете свой hosts в исходное состояние;
  
• Удаляете сайт с shared хостинга;
  
• Решаете вопрос с бэкапами: чем, куда и как часто;
  
• Постепенно вникаете в работу администратора Linux сервера
  

Ну а руководство по настройке LAMP Вы легко наяндексите
А возникнут вопросы - спрашивайте!