Автоматическое занесение информации с сайта в базу данных другого

Написать парсер прайса, который по cron будет проверять изменения и в случае обнаружения обновлять информацию.

Зависит от того — они на одном сервере (или рядом) или нет.
Если не на одном:
Сделать на втором магазине страницу-«приёмник», и при изменении данных на первом — отправлять POST-запрос с новыми данными (если ваши сервера это позволяют, конечно). Страница приёмник должна проверять откуда пришел запрос (какой то секретный ключ, проверка ip адреса), его целостность — и затем обновлять у себя данные.
Если на одном:
использовать общую базу данных или файл по заданному общему пути.

Да вообще решений много, вы бы уточнили условия.

Например, настроить репликацию СУБД первого магазина во второй. Но тогда второй будет Read Only. Еще лучше — использовать одну СУБД. Операции чтения также можно распределить с помощью репликации.

Уточню, доступа к серверу первого интернет-магазина нет