Можно ли начать писать класс отдельно от yii2, а потом вставить его в yii2 и что бы он сразу работал?

Можете, но установить в "2 клика" не получится, скорее всего придется прописывать отдельный интерфейс взаимодействия для фреймворка. В любом случае затея глупая и игра не стоит свеч.

У каждого фреймворка свои способы работы с БД, у Yii это ActiveRecord. Поэтому нет, нельзя. Придется переписывать код под конкретный фреймворк.

Вот я хочу сделать класс(сущность) для регистрации, статистика на сайте

Сомневаюсь что у Вас это будет 1 класс, это скорее некий набор классов у Вас получиться (модуль)

Могу ли я делать их отдельно(в другом проекте в отдельном файле), и потом вставить в yii2 и что бы они сразу так же заработали?

тут нужно понимать на чем Вы планируете делать проекты. Если Вы хотите все проекты делать на Yii и везде использовать разработанный функционал - тогда да Вы легко можете это сделать. Если же Вы хотите сделать некий универсальный модуль который планируете использовать на разных фреймворках - тогда будет очень сложно сделать это универсально.